Pajek 9

Tegnap írtam, hogy a köztesség (betweenness) még cselesebb mutató, mint a közelség (closeness). Ha megnézted a két táblázatot, bizonyára észrevetted, hogy előbbinek van egy feltűnő tulajdonsága. Még szembetűnőbb és egyértelműbb a dolog, ha a köztességi adatvektor alapján rajzoljuk meg a hálózatot. Íme:

Hát nem gyönyörűűűűűű? Remélem, te is látod azt, kedves Nyájas, ami kiböki az ember szemét!?! Válasz next time!

Pajek 8

Hi! Ma az volt a linea, s ezzel ment el az időm, hogy rájöttem: a Pajekben az Options menüpontban elrejtve mégis csak meg lehet adni, hogy mentse le a pontok koordinátáit. Megérte az idő, hiszen ezentúl gyorsan tudom visszatölteni a régebbi ábrákat.

Így viszont ma már sajna csak kevés időm maradt, úgyhogy csak röviden! A tegnapi bejegyzésben elmagyaráztam a (normált) fokszámot, mint ami egy pont centralitásának legegyszerűbb mutatója. Van azonban két további index erre, egy rafinált és egy még rafináltabb - nem túl rég találták ki őket, az egyik a közelség (closeness), a másik a köztesség (betweenness). Az utóbbit én magyarítottam meg így; ha nagy leszek, becsszó utánanézek, hogy hivatalosan hogy hívják magyarul. A lényeg azonban, hogy mit is takar a két fogalom, ehhez viszont ismerni kell a pontok közti távolság fogalmát. Ez annyira intuitív, hogy az óvodás is jó eséllyel megérti. Csak egy dolog a fontos: a távolság - a geometriai analógiának megfelelően - mindig 2 pont közötti legrövidebb utat jelent, ugyanis egy hálózatban többnyire többféleképpen is el lehet jutni A pontból B-be. Jó analógia a közlekedés, de az emberek ismeretségi hálózata is. (V.ö. Facebook!) Ennek akkora szakirodalma van, hogy - keress rá, dear Nyájas a neten! Érdekes módon szociológusok voltak azok, akik már jóval az Internet elterjedése előtt rámutattak arra, hogy ebben az utóbbi hálózatban a távolságokat általában - durván túlbecsüljük! Kagylózz, Nyájas, kvizkérdés jő: hány lépésre vagyok én, WR, a közvetlen ismeretségek hálózatában - Barack Obamától, akivel ugyebár nagy valószínűséggel soha nem fogok találkozni? A válasz most kapaszkodj meg: minössze 4, azaz négy lépés. Íme: 1: Lackner Pál - 2: Erdő Péter 3: XVI. Benedek - 4: Barack Obama!
Egy közismert példa a tudományokból az ún. Erdős-szám. Néhai matematikusunk, Erdős Pál, rendkívül termékeny volt, de ugyanakkor rendkívül nyitott is az együttműködésre, s így találták ki az Erdős-számot. Magyarázgatás helyett a definícióhoz egyszerűen idelökkentem a vonatkozó Wikipedia-linket. (Az érdekesség kedvéért: Einstein Erdős-száma 2.) Vetted az adást? Akkor jó! Akkor most már az alábbi ábrát is érteni fogod: a Rm - hálózat pontjain a számok ezúttal a pontok "Jézus-számait" jelentik. (NB: a '99' az egyszerűség kedvéért áll a végtelen-jel helyett: ez éppen az a 3 pont a hálózatban, amelyek más komponensben vannak, mint a kiindulópont, s így onnan értelemszerűen nem érhetők el.)

Miután a távolság fogalma immáron egyértelmű, jöhet a beígért két index, a közelség, ill. a köztesség. Mivel azonban sajna, az időm fogy, csak a tegnapihoz hasonló két táblázatot közlök Rm 1,1-17 hálózatának pontjaira. Study it, please!

Rm 1,1-17 - a pontok közelségi (closeness) indexe

Rm 1,1-17 - a pontok köztességi (betweenness) indexe

Pajek 7

Hi, Nyájas! Úgy látom, egy-kétszer elmaradt a napi linea, de ma nem! Azzal folytatom, amivel akár kezdhettem is volna. A hálózatokat nemcsak rajzolni lehet; létezik rájuk nagyon sok számszerű index(mutató) is, amik közül nem egy már a szociometriában is használatos volt. Ezek egy része a teljes hálózatot jellemzi, mások meg külön-külön az egyes csomópontokat. Logikusabb lenne az előbbiekkel kezdeni, azért én természetesen - az utóbbiakkal kezdem.

A mutatók közül több is a centralitás fogalmát jellemzi. Egy csomópont centralitásának legegyszerűbb mutatója a már említett fokszám, amit itt a különböző hálózatok összehasonlítása céljából normalizálva, tehát az adott hálózatban elvileg lehetséges legmagasabb fokszámra vetítve adok meg. Rángassuk hát elő esmeg boldogtalan 3 textusunkat, s nézzük a csomópontok normalizált fokszámait! Íme, ez a helyzet Rm 1,1-17-re:

Bocs, Nyájas, de most közben magamat kell figyelmeztetnem. A Pajek (szlovén: pók) kétségkívül zseniális szoftver, de hogy nem éppen user-friendly, azt már többen is joggal szóvá tették. Jelen esetben, a fokszámok kalkulációjánál, nagyon figyelnem kell, hogy a hálózat-partíció-vektor rendezettsége szinkronban legyen, különben a számok nem stimmelnek össze a címkékkel s így hülyeséget kapunk.

Neked pedig, dear Nyájas, egy kis segítség a fenti táblázathoz. Ha ráklikkelsz, látod, hogy a "listavezető" theos (görög: Isten) szó indexe 0,6578947. Hogy jön ez ki? Nos, a hálózat 39 csomópontból áll, így egy pont lehetséges max. fokszáma 38. A theos abszolút fokszáma 25 (ld. az előző bejegyzések közt a fokszámos ábrát!), így a normált fokszám 25/38, ami a fenti értéket adja. Remélem, minden világos!?! Bizonyára igen, úgyhogy a mai bejegyzéshez már csak a másik két textus megfelelő táblázatát kell előállítanom (persze az előbbi bekezdés értelmében max. odafigyeléssel).

Íme, 1Kor13 megfelelő táblázata:

S most még itt alant hadd jöjjön Flm is!

Pajek 6

Remélem, a kis fejtörő tegnap nem okozott gondot, kedves Nyájas s így jöhet az eddigi 3 textusra a beígért 3 "bi" hálózat.
Az értelmezéshez még egyszer: az egyes bi-componensek éleit különböző színek jelölik, a pontokon a számok pedig azt, hogy a pont hány bi-komponenshez tartozik. Ha ez a szám > 1, akkor ez a pont - bravó, kedves Nyájas, eltaláltad! - elvágó pont. A hidakat is könnyű megtalálni, hiszen ezek nem mások, mint 2 elemű bi-komponensek, s mint ilyeneknek, saját "különbejáratú" színük van. De most már tényleg figyuzd a fenti ábrákat (rendre: Flm, Rm1,1-17 és 1Kor 13) !

Pajek 5

Nos hát akkor jöjjön a beígért új témakör, a bi-komponensek. Tkp. ezek két pofonegyszerű fogalom általánosításai, az egyik pontokra, a másik élekre vonatkozik. Az első az ún. elvágó (nemzetközi zsargonban: artikulációs) pont fogalma. A gráf egy pontját akkor hívjuk így, ha az a rá illeszkedő élekkel együtt törölve (NB: másként nem is lehet, hiszen csak a pontot törölve at érintett élek "lógva" maradnának!) a gráf komponenseinek (azaz összefüggő részgráfjainak) száma nagyobb lesz. A másik fogalom a híd. Egy élt ugyancsak akkor hívunk így, ha azt törölve a komponensek száma nő. Egy kis illusztráció azért most sem árt. Ehhez szolgál az általam eszkábált Móricka-ábra, amely a gráfok 3 fő alapstruktúráját szemlélteti.

Most nézzük a 3 alapstruktúrát két új fogalmunk, az elvágó pont ill. a híd szempontjából! De ezt nem modom el részletesen, mert nem szeretnélek megsérteni, kedves Nyájas, úgyhogy lécci végezd el ezt a szellemi ujjgyakorlatot magad! Én addig előkészítem a folytatást!

Pajek 4

A Filemon-levél megfelelő hálózatai; rendre: szeletek, magok, fokszámok

"Nulla dies sine linea" - mondá állítólag az ókori római festő azaz nem teljék el egyetlen nap meghúzott vonal nélkül. Nos, a mai nagyon pici linea az, hogy grafikus szekesztő output régióját a defaultról egy kicsit, pontosan 1300-ról 1100-ra növelve csecse .PNG-t kapunk a hálózatokra.

Az ábrákról még egyszer: az első kettőn a pontok különböző színekkel jelölt osztályai (klaszterei) skatulyázottak, más szóval egymásba ágyazottak, mégpedig minél nagyobb a hozzá rendelt szám, annál belsőbb klaszterhez tartozik a pont. A legbelső osztályt tehát a legmagasabb indexű, azonos színű pontok jelzik. A harmadik ábrán a fokszámok a teljes gráfra vonatkoznak: ennyi szomszédja van az adott pontnak, ami - mint egy előző bejegyzésben már írtam - vizuálisan is könnyen ellenőrizhető.

Most egy újabb szakasz következik: a hálózatok egy újabb szempont szerinti elemzése, ezek pedig az ún. bi-komponensek. Nota bene egyszer s mindenkorra: nem kétirányú szexuális hajlammal bíró egyének összetevőiről van szó, hanem egy matematikailag precízen definiált gráfelméletei fogalomról. Addig is: adios, kedves Nyájas!

Pajek 3

A tegnapi 2. ábra Rm 1-nek a fokszámok alapján kalkulált belső magja volt. Mindazonáltal ezzel az algoritmussal (k-core, k-mag) nem kapunk mindig ilyen "szabályos" eredményt, ún. teljes gráfot. Íme a k-mag algó eredménye 1Kor 13 alapján:


Mielőtt megkeverednénk: a számok ezúttal azt jelentik, hogy a magon belül a pontok legalább ennyi másik ponttal vannak összekötve (k=5).
Na ezt később részletesebben. Most inkább azt, hogy a k-mag fogalmának mintegy duálisa az ún. "m-szelet" (m-slice). Tehát: ugyanaz az elv, csak pontok helyett élekre. Egy m-szeletet azok az élek és rájuk illeszkedő pontok alkotják, melyek súlya >= m. S a lényeg: úgy tűnik, hogy az ilyen kicsi és relative sűrű hálózatok esetében, mint a most vizsgáltak, a "szeletelés" többet mond, mint az előbb látott "magozás". Eddigi két példánkra így néz ki a dolog:

1Kor 13:

Rm 1,1-17:

Hát ez az utóbbi very csáléra sikerült, de már álmos vagyok, úgyhogy - ami késik, az múlik!

Vagy mégsem?!?

Pajek 2

Itt fent látható az egyik beígért következő minta, egy igazi locus classicusé: Rm 1,1-17. Ez már combosabb ábra, mi!?!
Na, hogy ne keseredj el, kedves Nyájas (alias dear reader), íme alant egy felettébb emészthető ábricsku, amely a fenti hálózat belső magját ábrázolja. Hogy ez hogy is jött ki, arról (Deo volente) legközelebb mesélek Neked!

Pajek1

Na nézzük csak, hogy néz ki!?!
Úgy látszik, nem is olyan rossz - főleg, ha rá lehet(ne) zoomolni!
Mit mondjak - rá lehet: klikkelj az ábrára és qqcs it please! NA MI EZ!??
MEGFEJTÉS: a szeretet himnusza (1Kor13) főneveinek (precízen: főnév-lemmáinak) hálózata. Két szó akkor és csak akkor van összekötve, ha legalább egy versben együtt fordulnak elő. A számok a pontok fokszámait jelentik, azaz hogy hány másikkal vannak összekötve (check it!); Azonos fokszámú pontok színe is azonos. Az összekötő vonalak vastagsága az együttes előfordulások számával arányos.
Jelenleg én is az ellenőrzés fázisában vagyok: mielőtt úgy istenigazában nekiesnék a munkának, összevetem ezt a hálózatot és további 3 minta-locusét az eredeti szöveggel. Addig be patient, dear reader!